數學探謎（精裝）第 9 節

博士对数论、象代数有许多辟之见。虽然说的话乍听似乎荒诞经，可拿事实去验证所说的离奇现象与规律时，却又发现博士的“预言”都是正确的。

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有次，博士到印度的加尔各答。说古今，谈“无所在的５”。

博士指，在印度的寺庙里，供奉着许多降魔金刚，信仰这些金刚的派之中心义共有５条，其中条是所谓宇宙的永劫回说，即认为宇宙经５百亿年的断膨，又经５百亿年的断收，直到成个黑洞，然又开始的膨与收。如此周而复始，循环已。降魔金刚手中，还拿着宇宙膨初期的“原始”呢！在这里，博士曾几次提到５这个数字。

向克斯曾把π的小数值算到７０７位，以这被认为是项了起的工作。自从近代电子计算机发明以，的工作简直算回事了。现在π值的记录再被打破，最新的记录是１００万位，这是由法国计算的。有意思的是，矩阵博士在这项计算以，就作了胆的预言，说第１００万位数必定是个５，结果真是如此！这究竟是用什么办法知的呢？博士却秘而宣。

循环往复的周期现象，在科技史曾起重作用，门捷列夫发现元素周期表，就是突的例。面请读者看与５有关的有趣现象。

请任选两个非０的实数，如π与７６，并准备个袖珍电子计算器。假定计算器数字八位，那么，π的八位数值是３．１４１５９２６。现在请把第二数７６加１作为被除数，把第个数π作为除数除法，即：

（７６＋１）÷３．１４１５９２６＝２４．５０９８６１

们把显示在计算器的２４．５０９８６１称为第三数，然再重复述程，把第三数加１，把第二数作为除数，这就得到了第四位数：０．３３５６５６，依次类推，可得到第五数、第六数

也许读者会认为，这些数字都没有规律可循，照这样去，真是“味同嚼蜡”。然而，当算到第六数时，将会吃惊，原第六数是３.１４１５９３１，略去这数字面二位因计算时四舍五造成差异的小数，它竟和第数的π相等，π又回了！如果还太相信，妨再选些整数，结果保证令意。们可以得结论，５是个循环周期，第六数与第数完全样，第七数与第二数完全样知，这个秘密最初也是矩阵博士想到的呢！

们且去计较矩阵博士是否真有其，可是这神奇的、无所在的５，却能引起们的极趣，引们去探索和研究。

☆、知最的质数吗？

知最的质数吗？

１９９２年，在质数研究方面，国际又有重突破。

３月２６，英国科学家用超速计算机，发现了到目为止的最质数，即２７５６８３９－１。

这个质数拥有２２７８３２位，个位数字是７。它将被载入《吉尼斯世界纪录全》。为什么时间和角度间位用60制

由于生产、生活的需，古代对天文、历法行了量的研究工作，这样，就得牵涉到时间和角度了。如研究昼夜的化，就观察地的自转，这里自转的角度和时间是密地联系在起的。

公元２１００年左右，巴比时期的著作已经表明：当时的们仅以３６０天作为１年，而且把圆分成３６０度，把１度分成６０分，把１分分成６０秒。这样，１／２，１／３，１／４，１／５，１／６，１／１０，１／１２，１／１５，１／２０，１／３０，１／６０度（分）都可以化为整数了。这给研究天文和历法带了极的方。

们知，６０位制与１０位制在本质是相同的。但由于１０位制有其固有的缺陷，如１０能被３、４、６整除，而６０位制就存在这些问题。

正因为６０位制（严格说，是６０退位制）有自己的优点，所以也就直沿用到今天。

现在，数学、理、航运等科学技术中仍然使用６０位制。数学把“度”、“分”、“秒”分别记作“°”、“′”、“″”，律标在数的右角。时间单位“时”、“分”、“秒”也采用６０位制。如７时３５分２０秒，记作７：３５′２０″，这里，用“：”号代替了度的符号“°”。三角形的108塔群

108塔位于宁夏青铜峡库西面峻峭的山崖，因塔数而得名，因此又称百八塔。百八塔座西朝东，背山面，随山凿石分阶而建，自而，按1、3、5、719奇数排列，构成了个等边三角形的型塔群。塔的底座为砖砌八角形弥座，塔似覆钵，塔如珠，2米左右，是种实心喇嘛塔。最塔，形制特，以逐层按比例小，远望能观塔群全貌，很符视线的透视原理，现了古代匠师的聪明才智，真称得是别格。

传说，这里曾是穆桂英的“天门阵”、“点将台”。其实，108塔是佛家惯用之数，念佛108遍，数珠108颗，晓钟108响。这里的108塔，估计与佛密宗《金刚经》中昆卢庶那108尊法有关。但真正的缘由是什么，至今还是个谜。

☆、魔术数

魔术数

１９８６年全国初中数学竞赛题第题第３小题提到魔术数，原题是：将自然数Ｎ接写在每个自然数的右面，如果得到的新数都能被Ｎ整除，那么Ｎ称为魔术数，在小于１３０的自然数中，魔术数的个数是。

乍看起，问题较棘手，但认真分析，并难解决。

家在理解魔术数定义时，就注意这几个字：“接写”、“每个”（即任何个），“都能”。

例如，把偶数２接写在任何个自然数右面得到的新数都是偶数，都能被２整除，所以２是魔术数。

怎样魔术数呢？

设ａ为魔术数，把ａ接写在任何个自然数ｘ的右面得到的新数ｘａ。

１.若ａ为位数，则ｘａ＝１０ｘ＋ａ能被ａ整除，即对任何个自然数ｘ，１０ｘ都能被ａ整除，就是１０应是ａ的倍数，则ａ只能是１，２，５共３个。

２.若ａ为二位数，则ｘａ＝１００ｘ＋ａ能被ａ整除，１００应是ａ的倍数，ａ只能是１０＝１×１０，２０＝２×１０，２５，５０＝５×１０，共４个。

３.若ａ为三位数，则ｘａ＝１０００ｘ＋ａ能被ａ整除，１０００应是ａ的倍数，ａ只能是１００＝１×１０２，１２５，２００＝２×１０２，２５０＝２５×１０，５００＝５×１０２，共５个。

同理，若ａ为四位数，ａ只能是１０００＝１×１０３，２０００＝２×１０３，５０００＝５×１０３，１２５０＝１２５×１０，２５００＝２５×１０２。

般地，当ａ为ｎ位数（ｎ≥３）时，魔术数可用以形式表示：

１×１０ｎ－１，２×１０ｎ－１，５×１０ｎ－１，２５×１０ｎ－２

１２５×１０ｎ－３。

这样，们可以小于任何给定的自然数的魔术数及其个数。小于１３０的魔术数共９个：１，２，５，１０，２０，２５，５０，１００，１２５，小于１０的魔术数为３个，小于１００的魔术数为７个，小于１０００的魔术数为１２个，小于１００００的魔术数为１７个

们观察ｎ位数的魔术数的个数：

当ｎ＝１时为３个；

当ｎ＝２时为４个；

当ｎ＝ｋ（ｋ≥３）时总是５个。

所以，ｎ≥２时，ｎ增加１，ｎ位数的魔术数的个数就增加５个。或者说，ｎ位数（ｎ≥２）以的魔术数的个数正好组成公差为５的等差数列：７，１２，１７，２２，２７，３２，。最的和最小的

（１）三个１，另加任何数学运算符号，能写成的最的数是什么？能写成的最小的数是什么？

（２）四个１，另加任何数学运算符号，能写成的最的数和最小的数是什么？

（３）三个２，另加任何数学运算符号，能写成的最的数和最小的数是什么？

（４）三个４，另加任何数学运算符号，能写成的最的数和最小的数是什么？

在回答这些问题时会发现，它们都是需仔想想才能正确回答的问题。

（１）很明显，１１１是最数的，１１１＝１是最小数。

（２）如果从（１）的经验发，以为１１１１是最数，就错了。这里最的数是１１１１。事实，１１３＝１３３１＞１１１１，而１１１１比１１１１更得多。最小的数当然还是１１１１＝１。